✘ Perbedaan Tak Terdefinisi, Tak Hingga Dan Tak Tentu [Persoalan Pembagian Dengan 0]
Dalam matematika aneka macam istilah yang perlu kita pahami. Salah satu problem yang muncul, ketika kita menemukan masalah pembagian suatu bilangan dengan nol, seperti beberapa pertanyaan berikut yang mungkin anda sendiri pernah mempertanyakannya, "Apakah hasil dari $\frac10$ yakni tak terdefinisi atau tak sampai?", "Bagaimana dengan $\frac00$?", "Berapa nilai dari $tan\frac\pi2$ ?", "Apakah $\displaystyle\lim_x\to 1\frac1x-1=\infty$?" dan banyak pertanyaan lain terkait pembagian nol.
Baiklah, mari kita bahas beberapa istilah berikut ialah Tak terdefinisi, tak sampai, dan tak tentu
Tak Terdefinisi (Undefined)
Sesuai namanya "tak terdefinisi" yaitu sesuatu yang tidak mampu kita definisikan. Dalam matematika, banyak hal yang tidak terdefinisi (undefined) beberapa pola diantaranya contohnya dalam geometri, kita sering mendengar dengan istilah "titik", namun tidak ada definisi yang menjelaskan apa itu titik. Contoh lain di luar geometri misalnya suatu fungsi $\displaystyle f(x)=\sqrtx$ tidak terdefinisi untuk $x$ negatif dengan $x$ anggota bilangan real dan $f(x)\in$ Real.
Dalam aritmetika, dikala kita membagi suatu bilangan dengan nol, maka akibatnya ialah tidak terdefinisi (bukanlah tak sampai). Perhatikan ilustrasi berikut:
Kita tahu bahwa pembagian yakni invers (balikan) dari perkalian, misal $\displaystyle\fracab=c$ maka mampu kita nyatakan $\displaystyle c\times b=a$.
Contoh, $\displaystyle\frac183=6$ dapat kita nyatakan $6 \times 3=18$
Namun, bagaimana dengan $\displaystyle\frac180=x$, maka $x\times 0=18$, apakah ada nilai $x$ yang memenuhi? tentu saja jawabannya tidak. Oleh karena itu, berapapun bilangannnya (selain nol) kalau dibagi dengan 0, maka tidak bisa didefinisikan (tak terdefinisi).
Masalah pembagian dengan 0 ini, saya sarankan anda membaca salah satu artikel di mathforum.org mengenai division by zero atau klik disini
Istilah "Tak Hingga" atau "Tak Berhingga" atau "Tak Terhingga" merupakan istilah yang kita gunakan untuk memberikan suatu nilai yang amat sangat besar (aktual tak sampai) atau suatu nilai yang amat sangat kecil (negatif tak sampai), meskipun demikian "tak sampai" bukanlah suatu bilangan (baik real maupun kompleks).
Tak hingga disimbolkan dengan $\displaystyle\infty$.
Dalam kalkulus, tak hingga $(\displaystyle\infty)$ mampu kita perlakukan layaknya lambang suatu bilangan namun harus mengikuti beberapa hukum sebagai berikut:
Sama halnya seperti tak hingga, "bentuk tak tentu" bukanlah suatu bilangan.
Salah satu teladan bentuk tak tentu ialah pembagian nol dengan nol $\displaystyle\left(\frac00\right)$. Mungkin beberapa orang menerka bahwa nilai dari $\displaystyle\frac00$ ialah 1, alasannya pembilang dan penyebutnya sama. Namun, hal tersebut keliru. Karena $\displaystyle\frac00$ tidak menghasilkan nilai tunggal, sebab itu disebut sebagai bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle\frac00=k$ maka $0\times k=0$, persamaan $0\times k=0$ terpenuhi untuk sembarang nilai $k$ bilangan real, untuk itu $\displaystyle\frac00$ tidak mempunyai solusi tunggal
Dalam kalkulus, dikenal beberapa bentuk tak tentu sebagai berikut:
Berikut ini beberapa masalah yang berkaitan dengan istilah tak terdefinisi, tak sampai dan tak tentu
1. Dalam Trigonometri
Saya eksklusif sering bertanya pada anak asuh "Berapa nilai dari $\tan90^\circ$?". Banyak diantaranya yang menjawab "Tak hingga" ada juga yang menjawab "Tak terdifinisi". Menurut anda mana yang banar?
Nilai dari $\tan90^\circ$ adalah tak terdefinisi. Perhatikan grafik dari $y=\tanx$ berikut ini:
$$\lim_x\to 0^+\frac1x-1=+\infty$$
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka $\displaystyle\lim_x\to 1\frac1x-1$ yakni tidak terdefinisi, artinya limit tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
$$\lim_x\to 1^-\frac1x-1\ne\lim_x\to 1^+\frac1x-1\Rightarrow \lim_x\to 1\frac1x-1=\textTak Terdefinisi$$
untuk memastikan, perhatikan grafik $\displaystyle y=\frac1x-1$ berikut ini:
Contoh, $\displaystyle\frac183=6$ dapat kita nyatakan $6 \times 3=18$
Namun, bagaimana dengan $\displaystyle\frac180=x$, maka $x\times 0=18$, apakah ada nilai $x$ yang memenuhi? tentu saja jawabannya tidak. Oleh karena itu, berapapun bilangannnya (selain nol) kalau dibagi dengan 0, maka tidak bisa didefinisikan (tak terdefinisi).
Masalah pembagian dengan 0 ini, saya sarankan anda membaca salah satu artikel di mathforum.org mengenai division by zero atau klik disini
Tak Hingga (Infinity)
Istilah "Tak Hingga" atau "Tak Berhingga" atau "Tak Terhingga" merupakan istilah yang kita gunakan untuk memberikan suatu nilai yang amat sangat besar (aktual tak sampai) atau suatu nilai yang amat sangat kecil (negatif tak sampai), meskipun demikian "tak sampai" bukanlah suatu bilangan (baik real maupun kompleks).
Tak hingga disimbolkan dengan $\displaystyle\infty$.
Dalam kalkulus, tak hingga $(\displaystyle\infty)$ mampu kita perlakukan layaknya lambang suatu bilangan namun harus mengikuti beberapa hukum sebagai berikut:
- $\displaystyle a+\infty=\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a-\infty=-\infty$ untuk $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times\infty=\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times(-\infty)=-\infty$ untuk $a>0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times \infty=-\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle a\times (-\infty)=\infty$ untuk $a\lt 0$ dan $a\in$ Bilangan Real
- $\displaystyle 0+\infty=\infty$
- $\displaystyle 0-\infty=-\infty$
- $\displaystyle\frac\inftya=\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne\infty$
- $\displaystyle\frac-\inftya=-\infty$ untuk $a\gt 0$ dan $a\ne \infty$
- $\displaystyle\fraca\infty=0$
Sebagai komplemen literatur, silakan baca ini .
Bentuk Tak Tentu (Indeterminate Form)
Sama halnya seperti tak hingga, "bentuk tak tentu" bukanlah suatu bilangan.
Salah satu teladan bentuk tak tentu ialah pembagian nol dengan nol $\displaystyle\left(\frac00\right)$. Mungkin beberapa orang menerka bahwa nilai dari $\displaystyle\frac00$ ialah 1, alasannya pembilang dan penyebutnya sama. Namun, hal tersebut keliru. Karena $\displaystyle\frac00$ tidak menghasilkan nilai tunggal, sebab itu disebut sebagai bentuk tak tentu. Misal $\displaystyle\frac00=k$ maka $0\times k=0$, persamaan $0\times k=0$ terpenuhi untuk sembarang nilai $k$ bilangan real, untuk itu $\displaystyle\frac00$ tidak mempunyai solusi tunggal
Dalam kalkulus, dikenal beberapa bentuk tak tentu sebagai berikut:
- $\displaystyle\frac00$
- $\displaystyle\infty-\infty$
- $\displaystyle\frac\infty\infty$
- $\displaystyle 0\times \infty$
- $\displaystyle 0^0$
- $\displaystyle \infty^0$
- $\displaystyle 1^\infty$
Beberapa Masalah Terkait
Berikut ini beberapa masalah yang berkaitan dengan istilah tak terdefinisi, tak sampai dan tak tentu
1. Dalam Trigonometri
Saya eksklusif sering bertanya pada anak asuh "Berapa nilai dari $\tan90^\circ$?". Banyak diantaranya yang menjawab "Tak hingga" ada juga yang menjawab "Tak terdifinisi". Menurut anda mana yang banar?
Nilai dari $\tan90^\circ$ adalah tak terdefinisi. Perhatikan grafik dari $y=\tanx$ berikut ini:
Dari grafik $y=\tanx$ di atas, bisa kita lihat bahwa kurva sama sekali tidak pernah menyentuh $x=\frac\pi2$, jadi tampak terperinci bahwa nilai dari $\tan90^\circ$ tak terdefinisi. Bahkan secara umum mampu dikatakan sebagai berikut:
Dalam Trigonometri, $\tan\theta$, $\sec\theta$ tidak terdefinisi untuk $\theta=\left(n-\frac12\right)\times 180^\circ$, dan $\cot\theta$ dan juga $\csc\theta$ tidak terdefinisi untuk $\theta=n\times 180^\circ$
2. Dalam Masalah Limit
Bagaimana bila saya bertanya berapakah nilai dari $\displaystyle\lim_x\to 1\frac1x-1$?
Jika jawaban anda adalah $\infty$ atau "tak hingga", maka jawaban anda belum tepat.
Nilai suatu limit fungsi ada atau terdefinisi jika limit kiri nilainya sama dengan limit kanan.
Untuk kasus soal di atas, limit kiri fungsi tersebut yaitu negatif tak sampai, mampu kita tulis:
$$\lim_x\to 1^-\frac1x-1=-\infty$$
Sementara limit kanan fungsi tersebut yakni nyata tak sampai, bisa kita tulis:$$\lim_x\to 0^+\frac1x-1=+\infty$$
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka $\displaystyle\lim_x\to 1\frac1x-1$ yakni tidak terdefinisi, artinya limit tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
$$\lim_x\to 1^-\frac1x-1\ne\lim_x\to 1^+\frac1x-1\Rightarrow \lim_x\to 1\frac1x-1=\textTak Terdefinisi$$
untuk memastikan, perhatikan grafik $\displaystyle y=\frac1x-1$ berikut ini:
Bisa kita lihat nilai untuk $x=1$ pendekatan dari kiri dan kanan tidaklah sama.
Jadi, tidak semua limit bisa kita cari nilainya, kita harus memastikan apakah limit tersebut terdefinisi atau tidak.
Demikianlah problem terkait istilah tak terdefinisi, tak sampai, dan tak tentu.
Artikel ini hanya ditulis oleh penulis yang sangat minim ilmu, jadi sebaiknya jangan jadikan tulisan ini sebagai acuan utama, silakan anda cari referensi lain yang lebih terpercaya.
Semoga bermanfaat
Belum ada Komentar untuk "✘ Perbedaan Tak Terdefinisi, Tak Hingga Dan Tak Tentu [Persoalan Pembagian Dengan 0]"
Posting Komentar