✘ Hukum Pencacahan - Menyusun Karakter Pada Suatu Kata Dengan Syarat Aksara Tertentu Tidak Berdekatan

Pada tulisan kali ini, saya akan membahas topik khusus yang akhir-akhin ini cukup sering dipertanyakan di grup-grup matematika mengenai banyak cara menyusun karakter-karakter pada suatu kata dengan syarat ada aksara tertentu yang dilarang berdekatan. Soal sejenis ini cukup sering muncul pada Ujian Pengetahuan (UP) UMKM PPG (Uji Kompetensi Mahasiswa Program Profesi Guru) bidang Profesional Pendidikan Matematika. Kaprikornus, bagi anda yang saat ini sedang mempersiapkan diri menghadapai UP PPG anda tiba ke blog yang sempurna, sebab pada tulisan ini saya akan mencoba membahas dengan cara yang paling sederhana dan mudah dipahami. 

Materi Prasyarat

Materi prasyarat untuk mampu mengerjakan soal "banyak cara menyusun aksara-abjad pada suatu kata dengan syarat ada huruf tertentu yang tidak boleh berdekatan" diantaranya, anda perlu memahami konsep permutasi dan kombinasi termasuk permutasi unsur yang sama. Makara, pada tulisan ini saya tidak akan membahas dulu apa itu kombinasi dan permutasi, dan hukum permutasi unsur yang sama, namun akan eksklusif to the point ke permasalahan sesuai judul. 

Soal dan Pembahasan

Baiklah, kita pribadi aja ke soal dan pembahasan. Soal-soal yang aku bahas berikut ini aku ambil dari soal-soal UP PPG / UTN (Ujian Tulis Nasional) yang pernah diujikan.

---

Soal 1 (UTN 2016)

Banyaknya cara menyusun kata BELERANG dengan syarat 2 huruf vokal dilarang berdekatan ialah ....

A. 7.200

B. 2.400

C. 960

D. 720

Pembahasan:

Salah satu alternatif termudah menyusun kata BELERANG dengan tidak ada karakter vokal berdekatan yakni dengan "mensisipkan" karakter-huruf vokal diantara abjad konsonan selain itu vokal juga bisa kita simpan diawal dan/atau diakhir kata. Pada kata BELERANG terdapat 3 huruf vokal adalah E, E, A dan 5 karakter konsonan yaitu B, L, R, N, G. Posisi penempatan aksara vokal dan konsonan yang mungkin dapat anda lihat pada gambar di bawah ini:

5 buah kotak yaitu daerah dimana kita akan "menyimpan" aksara konsonan, dan "ruang kosong" diantara kotak-kotak tersebut yaitu tempat kita akan "menyimpan" abjad-abjad vokal. Banyaknya "ruang kosong" sama dengan banyak karakter konsonan ditambah 1. Sampai sini apakah cukup terperinci?

Berikutnya, 3 hal yang perlu kita perhitungkan. Yaitu, "Berapa banyak cara kita menempatkan vokal?", "Berapa Banyak cara menyusun huruf vokal?" dan "Berapa banyak cara menyusun karakter konsonan?". Jika anda sudah mampu menjawab 3 pertanyaan di atas, maka dengan memakai hukum perkalian kita mampu memperoleh tanggapan soal diatas. Baik, mari kita coba jawab soal tersebut:

1) Banyak cara menempatkan 3 aksara vokal pada 6 daerah (ruang kosong) yang tersedia adalah: $\displaystyle C_3^6$ cara. Logikanya sama dengan "mengambil 3 daerah dari 6 tempat yang tersedia"

2) Banyak cara menusun huruf-abjad vokal E, E, A ialah: $\displaystyle \frac3!2!$ (permutasi unsur  yang sama)

3) Banyak cara menyusun aksara-aksara konsonan B, L, R, N, G yaitu: $5!$

Kaprikornus, banyak cara menyusun kata BELERANG tanpa ada dua huruf vokal berdekatan ialah:

$\beginalign*C_3^6.\frac3!2!.5!&=\frac6.5.4.3!3!.3!.\frac3!2!.5!\\&=60. 5!\\&=7200\endalign*$

Makara, terdapat sebanyak 7.200 cara

Untuk lebih jelas video pembahasan problem banyak cara menyusun karakter-abjad pada suatu kata dengan syarat karakter tertentu tidak berdekatan dapat anda lihat di channel youtube m4thlab, atau klik di sini

---

Soal 2 (UTN 2016)

Cara menyusun aksara TERCEPAT sehingga tidak ada dua huruf vokal berdekatan ada sebanyak ....

A. 7.200

B. 3.600

C. 1.800

D. 1.200

Pembahasan:

Huruf-huruf vokal: E, E, A

Banyak aksara vokal: 3

Huruf-abjad konsonan:  T, R, C, P, T

Banyak abjad konsonan: 5

Banyak ruang kosong untuk kita menyimpan vokal ialah banyak konsonan ditambah 1 yakni $5+1=6$ kawasan

1) banyak cara menempatkan vokal: $\displaystyle C_3^6$ cara

2) Banyak cara menyusun abjad vokal E, E, A ialah: $\displaystyle\frac3!2!$ (terdapat dua aksara yang sama)

3) Banyak cara menyusun huruf konsonan T, R, C, P, T yakni; $\displaystyle \frac5!2!$ (terdapat dua aksara yang sama)

Banyak cara menyusun abjad-huruf pada kata TERCEPAT tanpa ada dua huruf vokal berdekatan yakni:

$\beginalign*C_3^6.\frac3!2!.\frac5!2!&=\frac6.5.4.3!3!.3!.\frac3!2!.\frac5!2!\\&=30.5!\\&=3.600\endalign*$

---

Soal 3

Cara menyusun abjad-karakter JAKARTA dengan tanpa ada dua huruf A yang berdekatan ada sebanyak ....

A. 120

B. 150

C. 180

D. 240

E. 270

Pembahasan:

Banyak abjad A ada 3

Banyak karakter selain A  ialah J, K, R, T  ada 4

Banyak "ruang kosong" untuk menyimpan A ada  $4+1=5$ daerah

1) Banyak cara menempatkan 3 huruf A pada 5 tempat tersedia yaitu $C_3^5$ cara

2) Banyak cara menyusun 3 karakter A ialah $\displaystyle\frac3!3!=1$ cara

3) Banyak cara menyusun karakter selain A yakni huruf J, K, R, T adalah $4!$ cara

Banyak cara menyusun karakter JAKARTA tanpa ada dua abjad A berdekatan ialah:

$\beginalign*C_3^5.1.4!&=\frac5.4.3!3!.2!.1.4!\\&=10.4!\\&=240\endalign*$

Jadi, terdapat 240 cara

---

Soal 4 (UP 2020 tahap 2)

Cara menyusun aksara-karakter PENCACAHAN dengan tanpa ada dua abjad vokal yang berdekatan ada sebanyak ....

A. $6(7!)$

B. $35(6!)$

C. $28(7!)$

D. $28(5!)$

E. $42(6!)$

Pembahasan:

Huruf-karakter vokal: E, A, A, A

Banyak huruf vokal: 4

Huruf konsonan: P, N, C, C, H, N

Banyak abjad konsonan: 6

Banyak "ruang kosong" tenpat menyimpan karakter vokal yakni $6+1=7$ daerah

1) Banyak cara menempatkan vokal yaitu $\displaystyle C_4^7$ cara

2) Banyak cara menyusun karakter-aksara vokal E, A, A, A adalah $\displaystyle \frac4!3!$ cara

3) Banyak cara menyusun abjad-huruf konsonan P, N, C, C, H, N  ialah $\displaystyle\frac6!2!.2!$ cara

Banyak cara menyusun huruf-aksara PENCACAHAN  tanpa ada dua vokal berdekatan yakni:

$\beginalign*C_4^7.\frac4!3!.\frac6!2!.2!&=\frac7.6.5.4!4!.3!.4.\frac6!4\\&=35(6!)\endalign*$

Makara, terdapat $35(6!)$ cara

---

Soal 5 (UP 2020)

Cara menyusun karakter-karakter ARITMETIKA dengan dua huruf vokal tidak berdekatan ada sebanyak ....

A. $36(7!)$

B. $35(6!)$

C. $18(6!)$

D. $28(5!)$

E. $30(7!)$

Pembahasan:

Huruf-abjad vokal: A, A, I, I, E

Banyak abjad vokal: 5

Huruf-aksara konsonan: R, T, T, M, K

Banyak huruf konsonan: 5

Tempat (ruang kosong) untuk menyimpan aksara vokal: $5+1=6$ kawasan

Banyak cara menyusun karakter-abjad ARITMETIKA dengan tidak ada dua aksara vokal berdekatan adalah:

$\beginalign*C_5^6.\frac5!2!.2!.\frac5!2!&=\frac6!5!.1!.\frac5!2!.2!.\frac5!2!\\&=15(6!)\endalign*$

Kaprikornus, banyak cara menyusun karakter-abjad ARITMETIKA dengan tidak ada dua abjad vokal berdekatan yaitu $15(6!)$ (Tidak ada pada opsi tanggapan)

Soal Latihan:

Jika anda sudah paham dengan beberapa pola di atas, silakan anda coba soal berikut sebagai soal latihan, balasan boleh anda tulis pada kolom komentar

Berapkah banyak cara menyusun huruf-aksara pada kata MATHEMATICS dengan tanpa ada 2 aksara vokal berdekatan?

Demikianlah penjelasan mengenai cara menentukan banyak cara menyusun aksara pada suatu kata dengan syarat abjad tertentu tidak berdekatan.

Bagikan Artikel ini