✘ Limit Fungsi Trigonometri - Matematika Peminatan Kelas Xii

Pada Kesempatan ini m4th-lab akan membahas materi limit fungsi trigonometri, mencakup konsep, contoh soal dan pembahasan. Pada kurikulum 2013 revisi 2016, bahan ini dipelajari di kelas XII matematika peminatan semester ganjil.

Pada matematika wajib kelas XI, adik-adik telah mempelajari Limit Fungsi Aljabar, termasuk definisi limit itu sendiri. Suatu fungsi $f(x)$ mempunyai limit untuk $x$ mendekati $(x\to a)$ kalau nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kiri dan nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kanan mendekati nilai yang sama, misalnya $L$. Dapat ditulis:

$$\lim_x\to af(x)=L$$

Definisi limit fungsi trigonometri tidak jauh berbeda dengan limit fungsi aljabar di atas. Misal $f(x)$ merupakan fungsi trigonometri. Limit fungsi $f(x)$ mendekati sudut tertentu $a$ yakni nilai fungsi $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ dari kiri dan dari kanan. 

Lihat juga : Menyelesaiakan limit trigonometri dengan deret Maclaurin

Banyak cara yang dapat kita lakukan untuk menuntaskan limit fungsi trigonometri. Pertama, jika bentuk limit terdefinisi dengan mensubstitusi secara langsung (tidak diperoleh bentuk tak tentu $\frac00$), maka limit tersebut mampu diselesaikan cukup dengan mensubstitusi. Namun, kalau kita substitusi dan ternyata diperoleh bentuk tak tentu $\frac00$, maka dibutuhkan langkah tertentu untuk menuntaskan limit tersebut yang akan dibahas pada goresan pena ini.

Sebelum kita lanjut membahas limit fungsi trigonometri, sebaiknya kalian ingat kembali teorema limit yang mencakup Sifat-sifat Limit sebagai berikut:

1. $\displaystyle\lim_x\to a c=c $, dengan $c$ yaitu konstanta
2. $\displaystyle\lim_x\to ax^n=a^n$
3. $\displaystyle\lim_x\to ac.f(x)=c.\lim_x\to af(x)$
4. $\displaystyle\lim_x\to a\left[f(x)\pm g(x)\right]=\lim_x\to af(x)\pm \lim_x\to ag(x)$
5. $\displaystyle\lim_x\to a\left[f(x). g(x)\right]=\lim_x\to af(x). \lim_x\to ag(x)$
6. $\displaystyle\lim_x\to a\fracf(x)g(x)=\frac\lim_x\to af(x)\lim_x\to ag(x)$, dengan syarat $\lim_x\to ag(x)\ne 0$
7. $\displaystyle\lim_x\to a\left[f(x)\right]^n=\left[\lim_x\to af(x)\right]^n$

Berikut ini akan kita pelajari aneka macam cara menuntaskan limit fungsi trigonometri

1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri dengan Substitusi

Menentukan nilai limit dengan substitusi secara eksklusif hanya sah jika hasil yang diperoleh terdefinisi (bukan bentuk tak tentu $\frac00$).

Contoh 1.1:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_x\to \pi\cos(x+\sin x)$

Pembahasan:

Limit tersebut dapat diselesaikan dengan mensubstitusi pribadi

$\beginalign*\lim_x\to \pi\cos(x+\sin x)&=\cos(\pi +\sin\pi)\\&=\cos(\pi+0)\\&=\cos\pi\\&=-1\endalign*$

Contoh 1.2:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_x\to 0\frac\cosx\sinx+\cosx$

Pembahasan:

Limit tersebut mampu diselesaikan dengan mensubstitusi eksklusif

$\beginalign*\lim_x\to 0\frac\cosx\sinx+\cosx&=\frac\cos0\sin0+\cos0\\&=\frac10+1\\&=\frac11\\&=1\endalign*$

Contoh 1.3:
Tentukan limit fungsi berikut:
$\displaystyle\lim_x\to \frac\pi4\frac1-\sin^2x\cosx-\sinx$

Pembahasan:
Limit tersebut mampu diselesaikan dengan mensubstitusi langsung
$\beginalign*\lim_x\to \frac\pi4\frac1-\sin^2x\cosx-\sinx&=\frac1-\sin^2\frac\pi4\cos\frac\pi4-\sin\frac\pi4\\&=\frac1-\left(\frac12\sqrt2\right)^2\frac12\sqrt2-\frac12\sqrt2\\&=\frac1-\frac120\\&=\frac\frac120\\&=\infty\endalign*$

2. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri dengan Penyederhanaan

Jika setelah kita coba mensubstitusi dan ternyata diperoleh bentuk tak tentu $\frac00$, maka salah satu cara yang bisa kita gunakan ialah dengan penyederhanaan. Namun, sebelumnya saiknya kalian mengetahui beberapa rumus trigonometri yang sering dipakai untuk menyelesaikan limit trigonometri sebagai berikut:

Rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus

1. $\displaystyle\sinA+\sinB=2\sin\frac12(A+B)\cos\frac12(A-B)$
2. $\displaystyle\sinA-\sinB=2\cos\frac12(A+B)\sin\frac12(A-B)$
3. $\displaystyle\cosA+\cosB=2\cos\frac12(A+B)\cos\frac12(A-B)$
4. $\displaystyle\cosA-\cosB=-2\sin\frac12(A+B)\sin\frac12(A-B)$

Rumus Sudut Rangkap

1. $\sin2A=2\sinA\cosA$
2. $\cos2A=\cos^2A-\sin^2A$
3. $\cos2A=(\cosA+\sinA)(\cosA-\sinA)$
4. $\cos2A=1-2\sin^2A$
5. $\cos2A=2\cos^2A-1$

Perhatikan beberapa pola dan pembahasan limit trigonometri berikut dengan cara menyederhanakan bentuk trigonometri

Contoh 2.1:

Tentukan limit fungsi berikut:

$\displaystyle\lim_x\to \frac\pi4\frac\cos2x\cosx-\sinx=$ ....

Pembahsan:

Jika kita substitusi $x=\frac\pi4$ akan kita peroleh bentuk $\frac00$ (bentuk tak tentu), maka penyelesaian limit ini tidak cukup hanya dengan mensubstitusi.

Kita akan mengganti $\cos2x$ dengan $(\cosx+\sinx)(\cosx-\sinx)$ (perhatikan rumus sudut rangkap no 3 di atas), sehingga kita peroleh:

$\beginalign*\lim_x\to \frac\pi4\frac\cos2x\cosx-\sinx&=\lim_x\to \frac\pi4\frac(\cosx+\sinx)(\cosx-\sinx)\cosx-\sinx\\&=\lim_x\to \frac\pi4\cosx+\sinx\\&=\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi4\\&=\frac12\sqrt2+\frac12\sqrt2\\&=\sqrt2\endalign*$ 

Contoh 2.2:

Selesaikan limit berikut dengan menyederhanakan:
$\displaystyle\lim_x\to 0\frac\cosx-\cos3x1-\cos2x=$ ....

Penyelesaian:
$\beginalign*\lim_x\to 0\frac\cosx-\cos3x1-\cos2x&=\lim_x\to 0\frac2\sin2x\sinx1-(1-2\sin^2x)\\&=\lim_x\to 0\frac2\sin2x\sinx2\sin^22x\\&=\frac12\endalign*$

3. Menentukan Limit dengan Rumus Limit Trigonometri

Seringkali kita akan menemukan soal limit fungsi trigonometri yang tidak cukup hanya dengan menyederhanakan, namun kita perlu memakai beberapa rumus dasar limit trigonometri sebagai berikut:

1. $\displaystyle\lim_x\to 0\frac\sinxx=1$
2. $\displaystyle\lim_x\to 0\frac\sinaxax=1$
3. $\displaystyle\lim_x\to 0\fracx\sinx=1$
4. $\displaystyle\lim_x\to 0\fracax\sinax=1$
5. $\displaystyle\lim_x\to 0\frac\tanxx=1$
6. $\displaystyle\lim_x\to 0\frac\tanaxax=1$
7. $\displaystyle\lim_x\to 0\fracx\tanx=1$
8. $\displaystyle\lim_x\to 0\fracax\tanx=1$

 Contoh 3.1

$\displaystyle\lim_x\to 0\frac\cos3x-\cos5xx^2=$

Pembahasan:

$\beginalign*\lim_x\to 0\frac\cos3x-\cos5xx^2&=\lim_x\to 0\frac2\sin4x\sinxx.x\\&=\frac2.4.11.1\\&=8\endalign*$

Sebagai materi latihan, silakan download soal limit fungsi trigonometri disini

Untuk lebih memahami limit fungsi trigonmetri, silakan pelajari video berikut

---

Bagikan Artikel ini