✘ Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional Atau Pertidaksamaan Potongan (Matematika Wajib Kelas X)
Pertidaksamaan rasional yakni pertidaksamaan yang berbentuk potongan dengan pembilang dan penyebut memuat variabel atau hanya penyebutnya saja yang memuat variabel. Berikut ini beberapa pola pertidaksamaan rasional.
$\displaystyle\frac2x-1x+3\geq 0$
$\displaystyle\fracx^2-1x+7\leq 5$
$\displaystyle\frac52x-1\gt \fracx+1x-5$
Di atas, ada 3 acuan pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan bagian dengan bentuk yang berbeda. Namun, bagaimanapun bentuknya, pertidaksamaan rasional selalu dapat diubah sehingga menjadi salah satu dari bentuk umum pertidaksamaan rasional sebagai berikut:
$\displaystyle\fracf(x)g(x)\lt 0$ atau $\displaystyle\fracf(x)g(x)\leq 0$
$\displaystyle\fracf(x)g(x)\gt 0$ atau $\displaystyle\fracf(x)g(x)\geq 0$
Dengan $f(x)$ sebagai fungsi pembilang dan $g(x)$ sebagai fungsi penyebut dan $g(x)\ne 0$.
Bagaimana Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional?
Berikut ini beberapa langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan bagian:
Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional:
Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol
Jika fungsi pembilang atau fungsi penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1, maka faktorkan
Cari titik kritis atau pembuat nol fungsi pembilang dan fungsi penyebut
Gambar pada garis bilangan
Lakukan pengujian daerah yang dibatasi titik kritis pada garis bilangan
Tentukan himpunan penyelesaian
Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol
Jika fungsi pembilang atau fungsi penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1, maka faktorkan
Cari titik kritis atau pembuat nol fungsi pembilang dan fungsi penyebut
Gambar pada garis bilangan
Lakukan pengujian daerah yang dibatasi titik kritis pada garis bilangan
Tentukan himpunan penyelesaian
Perlu diingat bahwa penyebut dihentikan bernilai nol, dengan demikian saat menggambar garis bilangan, titik kritis yang diperoleh dari penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong, artinya titik tersebut tidak termasuk penyelesaian meskipun tanda pertidaksamaan pada soal memuat tanda sama dengan ($\leq$ atau $\geq$).
Contoh Soal dan Penyelesaian
Contoh Soal dan Penyelesaian
Untuk lebih memahami cara menyelesaiakan pertidaksamaan rasional, perhatikan pola soal dan pembahasan berikut ini.
Soal pertama yang akan kita selesaiakan adalah pertidaksamaan rasional berikut:
$\displaystyle\frac5x-20x-5\leq 3$
Langkah pertama, kita perlu menjadikan ruas kanan pada pertidaksamaan menjadi nol, yaitu dengan dengan mengurangi kedua ruas dengan $3$, kemudian sederhanakan bentuk pada ruas kiri dengan menyamakan penyebutnya
$\beginalign*\frac5x-20x-5-3&\leq 3-3\\ \frac5x-20x-5-3&\leq 0 \\ \frac5x-20x-5-\frac3(x-5)x-5&\leq 0\\ \frac5x-20-3x+15x-5&\leq 0\\ \frac2x-5x-5&\leq 0\endalign*$
Langkah kedua, kita tentukan titik kritis, ialah pembuat nol pada pembilang dan penyebut.
Pembuat nol pada pembilang yakni $\displaystyle 2x-5=0\Leftrightarrow x=\frac52$
Pembuat nol pada penyebut yaitu $\displaystyle x-5=0\Leftrightarrow x=5$
Langkah ketiga, kita buat garis bilangan yang memuat beberapa tempat yang dibatasi oleh titik kritis yang kita peroleh dari langkah kedua, dan perlu diingat pada titik kritis yang diperoleh dari penyebut digambarkan dengan tanda bulatan kosong meskipun pertidaksamaan yang sedang kita selesaikan $\leq$.
Langkah keempat, tentukan tanda masing-masing daerah pada garis bilangan dengan melaksanakan pengujian.
Pada garis bilangan di atas, kita peroleh tiga tempat, yakni $x\leq\frac52$ kita sebut saja "tempat kiri", tempat $\frac52\leq x \lt 5$ kita sebut sebagai "kawasan tengah" dan tempat $x\gt 5$ kita sebut sebagai "kawasan kanan".
Pada masing-masing daerah tersebut kita ambil sembarang angka penguji, misal untuk tempat kiri $(x\leq \frac52)$ aku ambil $x=0$, untuk kawasan tengah $(\frac52\leq x\lt 5)$ aku ambil $x=3$, dan untuk daerah kanan $(x\gt 5)$ saya ambil $x=6$ sebagai penguji. Dengan mensubstitusi titik-titik penguji tersebut ke fungsi rasional $\displaystyle \frac2x-5x-5$ maka kita peroleh:
Titik Uji | $2x-5$ | $x-5$ | $\displaystyle\frac2x-5x-5$ |
|---|---|---|---|
$x=0$ | $(-)$ | $(-)$ | $\frac(-)(-)=(+)$ |
$x=3$ | $(+)$ | $(-)$ | $\frac(+)(-)=(-)$ |
$x=6$ | $(+)$ | $(+)$ | $\frac(+)(+)=(+)$ |
Langkah kelima, kita tentukan himpunan penyelesaian dengan kembali memperhatikan tanda pertidaksamaan dan tanda pada garis bilangan.
Pertidaksamaan $\displaystyle\frac2x-5x-5\leq 0$ mempunyai tanda pertidaksamaan $\leq$, dengan demikian himpunan penyelesaiannya yakni yang bertanda negatif atau atau nol $(\leq 0)$, adalah kawasan tengah pada garis bilangan tadi.
maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle \frac5x-20x-5\leq 3$ yakni $\left\x $
Pertidaksamaan $\displaystyle\frac2x-5x-5\leq 0$ mempunyai tanda pertidaksamaan $\leq$, dengan demikian himpunan penyelesaiannya yakni yang bertanda negatif atau atau nol $(\leq 0)$, adalah kawasan tengah pada garis bilangan tadi.
Masalah Pertidaksamaan Rasional Yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang dan Penyebut
Berikutnya, kita akan mencoba menyelesaiak pertidaksamaan berikut ini:
$$\fracx^3-3x^2-8x-10x^2-3x-10\lt 1$$
Dengan mengurangi kedua ruas dengan 1 kita peroleh:
$\beginalign*\fracx^3-3x^2-8x-10x^2-3x-10-1&\lt 1-1\\ \fracx^3-3x^2-8x-10x^2-3x-10-1&\lt 0\\ \fracx^3-3x^2-8x-10x^2-3x-10-\fracx^2-3x-10x^2-3x-10&\lt 0\\ \fracx^3-3x^2-8x-10-x^2+3x+10x^2-3x-10&\lt 0\\ \fracx^3-4x^2-5xx^2-3x-10&\lt 0\endalign*$
Berikutnya, kita faktorkan pembilang dan penyebut sehingga kita peroleh
$\displaystyle\fracx(x+1)(x-5)(x+2)(x-5)\lt 0$
Seperti yang kita lihat, terdapat faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut, ialah $(x-5)$, pada pertidaksamaan rasional faktor komplotan tidak boleh kita sederhanakan atau bahkan kita hilangkan, hal yang umum dilakukan jikalau terdapat faktor komplotan contohnya $(ax+b)$ maka kita kalikan dengan $(ax+b)^2$ yang sudah terang faktual dan tidak merubah tanda pertidaksamaan. Kaprikornus, untuk pertidaksamaan di atas, kedua ruas kita kali dengan $(x-5)^2$ dengan $x\ne 5$ sehingga kita peroleh:
$\displaystyle\fracx(x+1)(x-5)^2x+2\lt 0$
titik kritis (pembuat nol) dari pembilang dan penyebut yang kita peroleh ialah: $x=0$, $x=-1$, $x=5$ dan $x=-2$, maka mampu kita buat garis bilangan sebagai berikut:
Dengan melaksanakan pengujian masing-masing kawasan, kita peroleh tanda sebagai berikut:
tanda yang diminta pada pertidaksamaan terakhir yakni $\lt 0$ atau negatif, dipenuhi oleh kawasan yang diarsir berikut:
maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\fracx^3-3x^2-8x-10x^2-3x-10\lt 1$ yakni $\ x\lt -2\text atau -1\lt x \lt 0, x\in R\$
Masalah Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Fungsi Definit
Berikutnya, kita akan mencoba menyelesaiak pertidaksamaan berikut ini:
$$\fracx^3-3x^2-8x-10x^2-3x-10\lt 1$$
Dengan mengurangi kedua ruas dengan 1 kita peroleh:
$\beginalign*\fracx^3-3x^2-8x-10x^2-3x-10-1&\lt 1-1\\ \fracx^3-3x^2-8x-10x^2-3x-10-1&\lt 0\\ \fracx^3-3x^2-8x-10x^2-3x-10-\fracx^2-3x-10x^2-3x-10&\lt 0\\ \fracx^3-3x^2-8x-10-x^2+3x+10x^2-3x-10&\lt 0\\ \fracx^3-4x^2-5xx^2-3x-10&\lt 0\endalign*$
Berikutnya, kita faktorkan pembilang dan penyebut sehingga kita peroleh
$\displaystyle\fracx(x+1)(x-5)(x+2)(x-5)\lt 0$
Seperti yang kita lihat, terdapat faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut, ialah $(x-5)$, pada pertidaksamaan rasional faktor komplotan tidak boleh kita sederhanakan atau bahkan kita hilangkan, hal yang umum dilakukan jikalau terdapat faktor komplotan contohnya $(ax+b)$ maka kita kalikan dengan $(ax+b)^2$ yang sudah terang faktual dan tidak merubah tanda pertidaksamaan. Kaprikornus, untuk pertidaksamaan di atas, kedua ruas kita kali dengan $(x-5)^2$ dengan $x\ne 5$ sehingga kita peroleh:
$\displaystyle\fracx(x+1)(x-5)^2x+2\lt 0$
titik kritis (pembuat nol) dari pembilang dan penyebut yang kita peroleh ialah: $x=0$, $x=-1$, $x=5$ dan $x=-2$, maka mampu kita buat garis bilangan sebagai berikut:
Dengan melaksanakan pengujian masing-masing kawasan, kita peroleh tanda sebagai berikut:
maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\fracx^3-3x^2-8x-10x^2-3x-10\lt 1$ yakni $\ x\lt -2\text atau -1\lt x \lt 0, x\in R\$
Masalah Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Fungsi Definit
Secara bahasa, definit artinya pasti. Dalam matematika terutama yang berkaitan dengan fungsi kuadrat dikenal dua definit yaitu definit konkret dan definit negatif. Definit faktual artinya fungsi tersebut selalu menghasilkan nilai kasatmata untuk setiap $x$ anggota bilangan real, dan definit negatif artinya fungsi selalu menghasilkan nilai negatif untuk setiap $x$ anggota bilangan real.
Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit positif jika $a\gt 0$ dan $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu nyata.
Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit negatif jikalau $a\lt 0$ dan $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu negatif.
Perhatikan contoh pertidaksamaan rasional berikut:
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac(x-1)(2x+4)(x^2+4)\lt 1$ adalah ....
Penyelesaian:
$\beginalign*\frac(x-1)(2x+4)(x^2+4)-1&\lt 0 \\ \frac(2x^2+2x-4)-(x^2+4)(x^2+4)&\lt 0\\ \fracx^2+2x-8x^2+4&\lt 0\endalign*$
Karena $x^2+4$ merupakan definit nyata, maka kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya saja.
$\beginalign*x^2+2x-8&\lt 0\\(x+4)(x-2)&\lt 0\endalign*$
Titik kritisnya yaitu $x=-4$ dan $x=2$, maka garis bilangannya sebagai berikut:
Kaprikornus, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle\frac(x-1)(2x+4)(x^2+4)\lt 1$ yakni $\ -4\lt x\lt 2\$
Jika anda sudah paham, silakan coba soal online pertidaksamaan rasional berikut sebagai materi latihan. Semoga bermanfaat, demikianlah bahan pertidaksamaan rasional kelas X matematika wajib.
Belum ada Komentar untuk "✘ Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional Atau Pertidaksamaan Potongan (Matematika Wajib Kelas X)"
Posting Komentar