✘ Trik Menyelesaikan Limit Tak Hingga Akar Pangkat 3

Kesempatan kali ini saya akan membahas bagaimana cara menyelesaikan persmalahan limit mendekati tak hingga yang dikala ini dipelajari di kelas XII pada mata pelajaran matematika peminatan (untuk kurikulum 2013 revisi). Namun yang akan kita bahas, saya khususkan membahas bagaimana cara menuntaskan limit tak hingga bentuk $\infty-\infty$ yang melibatkan akar pangkat 3.

Alasan kenapa aku menulis duduk perkara ini, alasannya adalah kebetulan hari ini pada salah satu grup diskusi matematika yang aku ikuti, ada salah satu pertanyaan yang menanyakan problem terkait limit tak hingga akar pangkat 3, jadi rasanya perlu untuk aku bahas.

Bentuk limit  tak sampai akar pangkat 3 yang akan kita bahas adalah yang bentuknya sebagai berikut:
$$\lim_x\to\infty\left(\sqrt[3]ax^3+bx^2+cx+d-\sqrt[3]ax^3+px^2+qx+r\right)$$

Jika kita substitusi akan diperoleh $\infty-\infty$ (bentuk tak tentu). Tentu saja penyelesaiannya bukan itu.

Kita tidak mampu menghilangkan bentuk akar dengan cara kali sekawan mirip halnya akar pangkat 2. Namun, kita mampu memanfaatkan bentuk aljabar berikut menghilangkan bentuk akar pangkat 3:
$$(m^3-n^3)(m^2+mn+n^3)$$
Menemukan Cara Cepat Menyelesaikan Limit Tak sampai Akar Pangkat Tiga

Mari kita kembali ke bentuk umum permasalah yang akan kita selesaikan yakni:
$$\lim_x\to\infty\left(\sqrt[3]ax^3+bx^2+cx+d-\sqrt[3]ax^3+px^2+qx+r\right)$$
Untuk menghemat penulisan, aku akan gunakan pemisalan sebagai berikut:
$\displaystyle m=\sqrt[3]ax^3+bx^2+cx+d$
$\displaystyle n=\sqrt[3]ax^3+px^2+qx+r$

maka:
$\displaystyle\lim_x\to\infty\left(\sqrt[3]ax^3+bx^2+cx+d-\sqrt[3]ax^3+px^2+qx+r\right)=\lim_x\to\infty(m-n)$

Kita kalikan dengan $\displaystyle\fracm^2+mn+n^2m^2+mn+n^2$, maka kita peroleh:

$\beginalign*\lim_x\to\infty(m-n)\times\fracm^2+mn+n^2m^2+mn+n^2&=\lim_x\to\infty\frac(m-n)(m^2+mn+n^2)m^2+mn+n^2\\&=\lim_x\to\infty\fracm^3-n^3m^2+mn+n^2\endalign*$

kini, kita substitusikan kembali $\displaystyle m=\sqrt[3]ax^3+bx^2+cx+d$ dan $\displaystyle n=\sqrt[3]ax^3+px^2+qx+r$ ke bentuk limit terakhir yang kita peroleh:

Karena kita berada dalam konteks limit mendekati tak sampai, maka yang akan kita ambil derajat tertinggi dari penyebut dan pembilang, sehingga kita peroleh:

$\beginalign*\lim_x\to\infty\frac(b-p)x^2(\sqrt[3]ax^3)^2+(\sqrt[3]ax^3)(\sqrt[3]ax^3)+(\sqrt[3]ax^3)^2&=\lim_x\to\infty\frac(b-p)x^2(\sqrt[3]ax^3)^2+(\sqrt[3]ax^3)^2+(\sqrt[3]ax^3)^2\\&=\lim_x\to\infty\frac(b-p)x^23(\sqrt[3]ax^3)^2\\&=\lim_x\to\infty\frac(b-p)x^23\sqrt[3]a^2x^2\\&=\fracb-p3\sqrt[3]a^2\endalign*$

Dari sederet langkah yang kita lakukan di atas, kita peroleh kesimpulan:
$$\lim_x\to\infty\left(\sqrt[3]ax^3+bx^2+cx+d-\sqrt[3]ax^3+px^2+qx+r\right)=\fracb-p3\sqrt[3]a^2$$

Agar mengetahui bagaimana penerapan formula di atas untuk menuntaskan permasalahan limit tak hingga akar pangkat 3, perhatikan beberapa acuan soal dan pembahasan berikut ini:

Baca: Download bank soal limit tak hingga pdf 

Contoh 1
$\displaystyle\lim_x\to\infty\left(\sqrt[3]x^3+12x^2+4x-1-\sqrt[3]x^3-6x^2+2x+10\right)=$ ....

 Pembahasan:

$\beginalign*\lim_x\to\infty\left(\sqrt[3]x^3+12x^2+4x-1-\sqrt[3]x^3-6x^2+2x+10\right)&=\frac12-(-6)3\sqrt[3]1^2\\&=\frac12+63\\&=\frac183\\&=6\endalign*$
 Contoh 2
$\displaystyle\lim_x\to\infty\left(\sqrt[3]8x^3+12x^2-(2x+2)\right)=$ ....

 Pembahasan:

$\beginalign*\lim_x\to\infty\left ( \sqrt[3]8x^3+12x^2-(2x+2)] \right )&=\lim_x\to\infty\left ( \sqrt[3]8x^3+12x^2 -\sqrt[3](2x+2)^3\right )\\&=\lim_x\to\infty\left ( \sqrt[3]8x^3+12x^2 -\sqrt[3]8x^3-24x^2+24x-8\right )\\&=\frac2-(-24)3.\sqrt[3]8^2\\&=\frac3612\\&=3\endalign*$

Demikianlah pembahasan terkait bahan limit tak sampai akar pangkat 3. Semoga bermanfaat

Bagikan Artikel ini